Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши, тензор натяжений) — тензор второго ранга, описывающий механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, возникающих в этой точке при его (тела) малых деформациях. В случае объёмного тела, тензор часто записывается в виде матрицы 3×3:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}$

а в случае двумерного тела (см. пример ниже) матрицей 2×2:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]}$

где ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n})}}$ — вектор механического напряжения, действующий на поверхность ${\displaystyle e_{n}}$.

В случае матричной записи (в декартовой системе координат) величины ${\displaystyle \sigma _{ij}}$(компоненты тензора напряжений), описывают напряжения испытываемые телом в какой-то заданной точке. В данной точке проводятся умозрительные плоскости с нормалями ${\displaystyle \color {Red}e_{1}}$, ${\displaystyle \color {Red}e_{2}}$, ... Нормальные компоненты сил, действующих на данные плоскости, записываются на главной диагонали ${\displaystyle \sigma _{11}}$, ${\displaystyle \sigma _{22}}$, ..., а в остальных позициях стоят касательные компоненты ${\displaystyle \tau _{yx}}$, ${\displaystyle \tau _{xy}}$, ... векторов напряжений на этих плоскостях.

В случае больших деформаций (конечные деформации), приходится использовать такие подходы как тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа, тензор Биота или тензор напряжения Кирхгофа.